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=(x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3

简介: =(x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.将上述变换求出逆

用矩阵形式表示二次型的方法:二次型f(x,y,z)=ax+by+cz+dxy+exz+fyz,用矩阵表示的时候,矩阵的元素与二次型系数的对应关系为:A11=a,A22=b,A33=c,A12=A21=d/2,A13=A31=e/2,A23=A32=f/2。

二次型的定义:设f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij * x_i*x_j 这里是系数, 满足aij=aji,则称f为n元二次1 对于任一实系数n元二次型X'AX,要化为标准型,实际上就是要找一个可逆变换X=CY,将它化为Y'BY的形式,其中B为对角阵。

2 如果你想要的是将A经合同变换化为B时的变换矩阵C,常用的方法有3种,即配方法、初等变换法和正交变换法。

=(x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.将上述变换求出逆变换x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,写成矩阵形式X=CY形式,其中C=(1,-2,-5/3;0,1,-1/3;0,0,1)(分号表示矩阵行结束)就是合同变换中的变换矩阵。

例,f=2x1x2-6x1x3,无平方项,则先作变换x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;再作变换z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆变换y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成f=2z1^2-2z2^2这种标准二次型。

(2)初等变换法:将二次型的矩阵A与同阶单位阵I合并成n_2n的矩阵(A|I),在这个矩阵中作初等行变换并对子块A再作同样的初等列变换,当将A化为对角阵时,子块I将会变为C’。

(3)正交变换法:先写出二次型f的tdbl,它是实对称矩阵,求出全部特征值λi(i=1,2,…

,n);再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量(特征值相同的不同特征向量注意正交化);把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T,那么正交变换X=TY将会把二次型X'AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+…

+λn*yn^2二次型的矩阵是对称矩阵,首先注意到一个事实。

对于任意矩阵 \mathbf{A} 而言,我们总可以把它写成两个组分的和。

\mathbf{A}=\frac{\mathbf{A}+\mathbf{A}^T}{2}+\frac{\mathbf{A}-\mathbf{A}^T}{2}如果你把这个矩阵写成二次型的话会发现后面这一项 \mathbf{x}^T\left(\frac{\mathbf{A}-\mathbf{A}^T}{2}\right)\mathbf{x} 是个0。

而前面那个成分 \left(\frac{\mathbf{A}+\mathbf{A}^T}{2}\right) 是对称的。


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