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一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数

简介: 一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz> 0。

在线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。

与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式。

一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz> 0。

1、正定矩阵的行列式恒为正。

在线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。

两个矩阵A和B是合同的,当且仅当存在一个可逆矩阵C,使得C^TAC=B,则称方阵A合同于矩阵B。

3、若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵。

矩阵的合同是一种等价关系,一个矩阵有无穷个合同矩阵。

正定性是矩阵本身的性质,等价于它的所有特征值大于零。

4、两个正定矩阵的和是正定矩阵。

正定矩阵意味着对于任意向量的变换后夹角都是锐角,这意味着对于任何的迭代(优化、搜索)过程,迭代前后两个点充分的近。

除了优化外,在微分方程迭代计算中,一般状态迭代矩阵满足$M = E + \Delta U$,$\Delta U$是微分矩阵近似得到的差分矩阵,通常都是正定的,这样才能保证变化的微小型,从而确保迭代的稳定性。


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