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下面,我们以一道题目为例说明计算二次型的标准形的三种方法:配方法合

简介: 下面,我们以一道题目为例说明计算二次型的标准形的三种方法:配方法合同变换法特征值法方法一:配方法配方法的要领是:第一次将所有含有x1的项集中到一起,进行配方,从而消掉含有x1的交叉项,第二次将含有X2的项集中到一起进行

将二次型化为标准形有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参报传腿数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称壁常矩阵合同的简单形等等。

下面,我们以一道题目为例说明计算二次型的标准形的三种方法:配方法合同变换法特征值法方法一:配方法配方法的要领是:第一次将所有含有x1的项集中到一起,进行配方,从而消掉含有x1的交叉项,第二次将含有X2的项集中到一起进行配方…

直到去掉所有的交叉项.解:将含有x1的项集中起来进行配方:X所经历的线性可逆的变换为:即,故,f=经X=PY的变形可变为f,其中方法二:合同变换法使用方法如下:解:故,此时,f=经X=CY的变形可变为其中,方法三:特征值法步骤如下:1.写出二次型的矩阵 A2.求出 A 的特征值,得λ1,λ2 , ,λn 3.求出对应的特征向量4.将这些特征向量与特征值一一对应排成矩阵,得到可逆矩阵 B解:令求解A的特征值:解得A的特征值为0,5,6,故,此时,f=经X=BY的变形可变为其中,B由A的特征向量构成,,注意:若把特征向量进一步变形如下:将特征向量作施密特正交变换,得到正交的特征向量将正交的特征向量单位化将这些单位化向量排成矩阵,得到正交矩阵 Q————我们把这种形式的变形称为正交相似对角化/反馈


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